对不同数量同种单位战斗之后优势方剩余数量的研究（含严格数学证明）

castelu

在2010年4月29号的直播中，xd=love提出了一个计算不同数量同种单位战斗之后优势方剩余数量的公式：
假设team A 的单位数为 M， team B 的单位数为 N，且 M>N。
则A队获胜之后的剩余单位数为：
$$\sqrt {M^2 - N^2}$$
这个简单的公式来自连续情形下的微分方程。但是现在用比较精确的算法来分析这个公式在星际里的可靠性。

下面说说我所采用的算法：
实际情况是比较复杂的，因为结果很大程度上会与操作有关。现在假设：双方都是良好的操作，即最大效率的每次集中火力点对方一个单位。
在这种假设之下，需要忽略一些次要因素，比如一次攻击输出总值大于对方生命值造成攻击浪费的情况。之所以可以先不考虑这个因素有两个原因，一是双方是公平的miss，2是这个忽略所造成的误差已经包含在了小数次数的攻击之中。在样本数量比较大的情况下，是可以描述真实情况的。（类似与阶梯函数被近似成连续函数的情形）
还有一个因素是剩下小数个单位时候如何处理，这里采取折中的方法，即保留小数个单位的存在，因为实际上在一个攻击周期中有个单位的血量是不满的，所以他相应的攻击输出就无法持续一个周期，因此“半个单位”这种处理其实与实际还是比较接近的。

假设每个单位一次有效攻击（已考虑防御的因素）为a，生命值为b。
则m个A队的单位在单位时间中对B队的伤害为 m*a;
由于在好的操作之下所有攻击集中在B队一个单位的身上，所以所需时间为 $t=\frac{b}{ma}$;
在这段时间中，B队对A队所产生的伤害是  $nat=\frac{nb}{m}$;
所以这段时间A队剩下的单位数量为 $\frac{mb-\frac{nb}{m}}{b}= m-\frac{n}{m}$;    (可见最后的结果与a，b的值无关，也就是说与兵种无关！）
由此分析之后得到击毁第i个B队单位之后A队的剩余数量为：$m_{i+1}=m_i-\frac{n-i}{m_i}$;

不容易得到数列通项表达式，于是采用编程来得到结果：

#include <iostream>
#include <math.h>
#define M  12                        // set original number of units in team A

int main()
{
        std::cout << "Assume team A has more units than team B. " << std::endl;
        std::cout << "The following 3 colomns give the original number of team B, the final number of team A, " <<
                "and the final number according to the prediction from XD=love's formula." << std::endl;
        for (int n = M; n != 0; --n) {
                float m[n];
                m[0] = M;
                for(int i=0; i != n; ++i) {
                m(i+1) =  m(i) - ( n - i ) / m(i);
        }
      
        std::cout << n << '\t' <<  m[n] << '\t' << '\t' << sqrt ( M * M - n * n ) << std::endl;

        }
        return 0;
}

此程序同时计算了在一定A对数量的情况下，不同的B队初始数量造成的A队剩余结果。另外，还直接运用了大师的公式计算来比较两种算法的差异。
其中A队的初始数量假设为12个(在开头的#define M 中定义，可随意更改），程序运行结果如下：
（第一列是不同的B队初始值，第二列是相应的A队剩余数量，第三列是由大师的公式直接得到的结果）

Assume team A has more units than team B.
The following 3 colomns give the original number of team B, the final number of team A, and the final number according to the prediction from XD=love's formula.
12        0                0
11        4.24037                4.79583
10        6.15489                6.63325
9        7.52279                7.93725
8        8.58614                8.94427
7        9.44015                9.74679
6        10.1338                10.3923
5        10.6961                10.9087
4        11.1452                11.3137
3        11.4934                11.619
2        11.7488                11.8322
1        11.9167                11.9583

可见两种算法得到的结果十分接近，从而证明了大师那个相对比较简明的公式的可靠性。

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在此基础之上，其实很容易得到一些进一步的结果，那就是如果双方的兵种不对称会怎么样。
比如，相同数量，攻防不相同的大舰之间对战的结果会怎样？
采用类似的分析过程，只是a此时有两个值，a1和a2，比如3攻3防vs 0攻0防的话，a1=25＋9-3=31，a2=25-6=19.
程序之中的核心部分$m_{i+1}=m_i-\frac{n-i}{m_i}$; 将变为：$m_{i+1}=m_i-\frac{\frac{(n-i)a_2}{a_1}}{m_i}$ :

新的结果如下：（A队12个高攻防）

The following 3 colomns give the original number of team B, the final number of team A, and the final number according to the prediction from XD=love's formula.
12        7.86227                0
11        8.6775                4.79583
10        9.32456                6.63325
9        9.9314                7.93725
8        10.4127                8.94427
7        10.784                9.74679
6        11.1433                10.3923
5        11.4064                10.9087
4        11.6637                11.3137
3        11.8328                11.619
2        11.9167                11.8322
1        12                11.9583

可见在B队 也有12个情况下，A队打赢之后还可以剩下7个左右。
当然实际情况中双方攻防不会差距这么大，比较多的是落后一级，例如A的3攻3防 vs B的2攻2防，此时a1=25+9-5=29，a2=25+6-6=25
结果如下：

The following 3 colomns give the original number of team B, the final number of team A, and the final number according to the prediction from XD=love's formula.
12        5.16354                0
11        6.7186                4.79583
10        7.88375                6.63325
9        8.80226                7.93725
8        9.54011                8.94427
7        10.1338                9.74679
6        10.6961                10.3923
5        11.1452                10.9087
4        11.4934                11.3137
3        11.7488                11.619
2        11.9167                11.8322
1        12                11.9583

也就是说一队打完还可以剩下5个左右。所以只差一级攻防的影响仍然是很大的。

另外附上大数量情况下的结果，假设A队原始量有100个：

Assume team A have more units than team B.
The following 3 colomns give the original number of team B, the final number of team A, and the final number according to the prediction from XD=love's formula.
100        0                0
99        13.4012                14.1067
98        19.2208                19.8997
97        23.6528                24.3105
96        27.3607                28
95        30.6021                31.225
94        33.5094                34.1174
93        36.1617                36.756
92        38.6105                39.1918
91        40.8917                41.4608
90        43.0315                43.589
89        45.0495                45.5961
88        46.9615                47.4974
87        48.7795                49.3052
86        50.5136                51.0294
85        52.172                52.6783
84        53.7616                54.2586
83        55.2884                55.7763
82        56.7571                57.2364
81        58.1723                58.643
80        59.5377                60
79        60.8566                61.3107
78        62.1319                62.578
77        63.3661                63.8044
76        64.5618                64.9923
75        65.7208                66.1438
74        66.8452                67.2607
73        67.9365                68.3447
72        68.9965                69.3974
71        70.0264                70.4202
70        71.0274                71.4143
69        72.001                72.3809
68        72.9481                73.3212
67        73.8698                74.2361
66        74.7669                75.1266
65        75.6403                75.9934
64        76.4909                76.8375
63        77.3194                77.6595
62        78.1264                78.4602
61        78.9127                79.2401
60        79.6788                80
59        80.4253                80.7403
58        81.1528                81.4616
57        81.8617                82.1645
56        82.5525                82.8493
55        83.2257                83.5165
54        83.8817                84.1665
53        84.5209                84.7998
52        85.1436                85.4166
51        85.7502                86.0174
50        86.3411                86.6025
49        86.9166                87.1722
48        87.4769                87.7268
47        88.0223                88.2666
46        88.5532                88.7919
45        89.0698                89.3029
44        89.5722                89.7998
43        90.0609                90.2829
42        90.5359                90.7524
41        90.9975                91.2086
40        91.446                91.6515
39        91.8814                92.0815
38        92.304                92.4986
37        92.7139                92.9032
36        93.1113                93.2952
35        93.4963                93.675
34        93.8693                94.0425
33        94.2301                94.3981
32        94.579                94.7418
31        94.9162                95.0737
30        95.2417                95.3939
29        95.5557                95.7027
28        95.8582                96
27        96.1494                96.286
26        96.4294                96.5609
25        96.6983                96.8246
24        96.9562                97.0773
23        97.2031                97.3191
22        97.4391                97.55
21        97.6644                97.7701
20        97.879                97.9796
19        98.0829                98.1784
18        98.2762                98.3667
17        98.459                98.5444
16        98.6314                98.7117
15        98.7933                98.8686
14        98.945                99.0152
13        99.0862                99.1514
12        99.2173                99.2774
11        99.3381                99.3932
10        99.4487                99.4987
9        99.5491                99.5942
8        99.6395                99.6795
7        99.7197                99.7547
6        99.7898                99.8198
5        99.8499                99.8749
4        99.9                99.92
3        99.94                99.955
2        99.97                99.98
1        99.99                99.995


可见依然吻合的很好。

结合昨天教主与mvp决战时候的情况，由于教主本身被点掉一些单位并且又有一些单位脱节，假设当时mvp有18个大舰，教主少了5个。那么结果是：
13        12.0519                12.4499

也就是mvp剩下了一队，比较吻合当时的情况。

其实程序本身很简单的，主要问题在于分析算法，做出合理的近似。

    我看了一下wiki上对Lanchester's Square Law的解释，不过好像没有讲原因，所以有可能是数据拟合出来的经验公式。而且后面还有
In modern warfare, to take into account that to some extent both linear and the square apply often a factor of 1.5 is used.
那就不太符合星际的情况了。

这是兰切斯特平方率的实际应用，适用于远程兵种交锋，不过在公式中还要考虑武器质量，这个就复杂多了

兰切斯特法则：
假设某一次交手的时候我方投入的人数是 M 人，敌方 N 人。并假设我方平均每个人在单位时间内可以使敌方 p 人丧失战斗力，敌方平均每个人在单位时间内可以使我方 q 人丧失战斗力。
    假定在 t 时刻，我方剩下的人数是 m(t) 人，敌方剩下 n(t) 人，那么在这个时刻，敌方被我方杀伤的人数必定是我方此时的总人数乘以我方单兵作战能力，即  
$$\frac{{\rm d}n(t)}{{\rm d}t}=-pm(t),－－（方程1）$$
$$\frac{{\rm d}m(t)}{{\rm d}t}=-qn(t).－－（方程2）$$
$$n_0=N，m_0=M－－（初值）$$

求解，得
$$m(t) = \frac{1}{2} [(M-N\sqrt{\frac{q}{p}})e^{\sqrt{pq}t}+(M+N\sqrt{\frac{q}{p}})e^{-\sqrt{pq}t}],$$
$$n(t) = \frac{1}{2} [(N-M\sqrt{\frac{p}{q}})e^{\sqrt{pq}t}+(N+M\sqrt{\frac{p}{q}})e^{-\sqrt{pq}t}].$$

结论1：我方取胜的条件是：
$$M\sqrt{p}>N\sqrt{q}$$
人数如果变为原来的2倍，战斗能力是原来的4倍，这就是著名的平方战斗定律
  
结论2：假定我方与敌方的单人的战斗力一样，即 p = q 的情况下，如果 m > n，那么到战斗结束，敌人一个死光，我方还剩下$\sqrt{M^2 - N^2}$人，我方总共死$M - \sqrt{M^2 - N^2}$人。

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严格数学证明（By：castelu）：
$$\frac{{\rm d}n}{{\rm d}t}=-pm$$
$$\frac{{\rm d}m}{{\rm d}t}=-qn$$

上下两式分别求微分以后代入，得到：
$$\frac{{\rm d}^2n}{{\rm d}t^2} = pqn$$
$$\frac{{\rm d}^2m}{{\rm d}t^2} = pqm$$

这是二阶常系数线性微分方程，特征方程是：
$$r^2-pq=0$$

于是通解为：
$$m=C_1e^{\sqrt {pq}t}+C_2e^{-\sqrt {pq}t}$$
$$n=C_3e^{\sqrt {pq}t}+C_4e^{-\sqrt {pq}t}$$

根据初值条件：
$$m_0=M$$

得到：
$$m=C_1e^{\sqrt {pq}t}+(M-C_1)e^{-\sqrt {pq}t}$$

求微分后代入原方程组中的2式，解得：
$$C_1=\frac{1}{2}[M-N\sqrt {\frac{q}{p}}]$$

于是：
$$m =\frac{1}{2}[(M-N\sqrt {\frac{q}{p}})e^{\sqrt {pq}t}+(M+N\sqrt {\frac{q}{p}})e^{-\sqrt {pq}t}]$$
$$n =\frac{1}{2}[(N-M\sqrt {\frac{q}{p}})e^{\sqrt {pq}t}+(N+M\sqrt {\frac{q}{p}})e^{-\sqrt {pq}t}]$$

假如p=q，则：
$$m=\frac{1}{2}[(M-N)e^{pt}+(M+N)e^{-pt}]$$
$$n=\frac{1}{2}[(N-M)e^{pt}+(N+M)e^{-pt}]$$

当n=0时，对于通解中的2式：
$$(N+M)e^{-pt}=-(N-M)e^{pt}$$
$$M+N = (M-N)e^{2pt}$$
$$\ln (M+N)=\ln (M-N)+2pt$$
$$t=\frac{1}{2p}\ln \frac{M+N}{M-N}$$

对于通解中的1式：
$$m =(M-N){e^{pt}}$$
$$=(M-N)e^{\frac{1}{2}\ln \frac{M+N}{M-N}}$$
$$=(M-N)\sqrt {\frac{M+N}{M-N}}$$
$$=\sqrt {M^2-N^2}$$

证毕

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模型的意义在于能够还原，越是复杂的模型就越接近真实的情况，不能因为真实条件下不会出现此类情况就去否定一个模型，事实上Lanchester模型对于星际的作用还是很大的，这也就是为什么职业选手从不用4个xx打5个xx或者8条狗打10条狗的原因！

连续应该是可以自洽的，因为这个是常微分方程

数字上的结果在细节上略有出入是因为实际情况终归是离散的，这样的话在不断缩短的每个周期中就要被打掉的那个单位能否成功打出那一下是只能用概率表示，要足够符合需要样本数量够大。但总之还是吻合的相当好了。

假设是对于同种族同兵种应该是有很好的吻合的，但是对于不同种族或者不同兵种之间的较量的话，该理论就必须得扩展了。
比如你说"可见最后的结果与a，b的值无关，也就是说与兵种无关！"也就是说与攻击力和血长度无关。但是实际的情况是这样的吗？一队狗与一队叉子去打，按照你的理论，二者如果操作都很完美的话，最后应该全部死光，但是实际情况可能吗？
所以说这个地方不能说与兵种无关，兵种在方程中提供了非常重要的权重，这也是为什么打星际光是单一兵种是很难解决战斗的关键因素。
当然了你计算的这个还是有意义的，对于同种族同兵种的较量给了大家一些对于操作上的数据证明。
另外对于权重，我觉得你应该再深入的探讨一下，这个对于实际就更有意义了，例如：我觉得兵种权重可以这样定义：攻击力 * 血长度 * C / 攻击频率， C为一常量，这里先计算地面攻击，C这里我就取C = 1了，因为我也不知道取什么值好，现在列出一些兵种权重：

小狗（未升级攻击频率前）：5 * 35 * (1 / 8)  =21.875
小狗（升级攻击频率后）：5 * 35 * (1 / 6)  =29.167
刺蛇（升级射程后）：10 * 80 * (1 / 15)  = 53.333
飞龙：9 *120 * (1 / 30) = 36
Lurker: 20 * 125 * (1 / 37) = 67.568
大象：20 * 400 * (1 / 15) = 533.333
守护者：20 * 150 * (1 / 30) = 100
吞噬者：25 * 250 * (1 / 100) = 62.5

狂战士：16 * 160 * (1 / 22) = 116.364
龙骑：20 * 180  * (1 / 30) = 120
闪电：100(闪电风暴) * 80 * (1 / 75) = 106.667
Dark：40 * 120 * (1 / 30) = 160
金甲：100 * 180 * (1 / 60) = 300
Scout：28 * 250 * (1 / 22) = 318.189
海盗船：5 * 180 * (1 / 8) = 112.5

人族的就不列了。
现在举几个例子：
1、一队狗和一队叉子。加上权重计算得到：叉子剩下= 10.717，也就是11个，符合实战。如果要全歼一队叉子，那么需要多少只狗呢？计算得到：未升级攻击频率需要28只，升级后需要24只。
2、一队口水和一队叉子（肉搏）。计算得到：叉子剩下=8.58，8个左右。要全歼一队叉子需要18个口水。
3、一队小狗和一队龙骑。因为龙骑打小狗减半，所以计算得到：龙骑剩下=9.371，但是要全歼一队龙骑则只需要20只狗即可。
这三个例子都符合实战。小狗克龙骑也可以看到。提速xx打口水也并不吃亏的。当然了实际操作中肯定有很多的变数的，例如口水的操作，龙骑的操作等等。而且如果权重加上射程，是否有飞溅效果等因素则更加合理。

以上就是一些关于权重的个人心得，还望有抛砖引玉之作用啊。

下面附上计算全歼对方需要的数量程序：
#define M 12 //为一队的数量

int  i, n;

n = 1;//n为需要的数量的变量
float q = M;
while (q > 0)
{
    q = M;
    i = n;
    while (q > 0 && i > 0)
    {
        q = q - i  * StrToFloat(Edit1->Text) / (q * StrToFloat(Edit2->Text)); //参考m(i+1) =  m - ( n - i ) / m得到
        i = i - 1;
    }
    n = n + 1;
}
ShowMessage(n - 1);
以上代码在C++Builder 2007上测试通过。

还有一个典型的例子就是海盗船和飞龙。一队飞龙打一队海盗船，不考虑飞溅和子弹弹射攻击的话，海盗船应该还剩下9个左右，所以很难看到飞龙去打同等数量或者只是少很好数量的海盗船的。一般都是一群飞龙围着海盗船打。

对于不同的对抗，要分别计算dps，也就是各有不同的a1,a2,b1,b2，这样显然在式子里是不会消掉的。
因为攻防和体积的问题，同样一个单位，在面对不同的对手时a1 a2的值都不相同。
落实到p和z的单位，又有回护甲和回血的问题，就会让问题很复杂，所以就先考虑最简单的情况了，这就是为什么用t的大舰来举例。

另外如果是肉搏单位，就完全不能用这个理论套，因为齐射的假设无法成立，要完全用另一套模型才行。